Pierre
de Fermat (1601-1665), matemático francês
Índice
Preâmbulo.......................................................................................................................................................................... 5
Ângulos................................................................................................................................................................................. 6
1.1. Ângulo trigonométrico.............................................................................................................................................. 6
1.2. Classificação de ângulos......................................................................................................................................... 7
1.3. Arcos de circunferência............................................................................................................................................ 8
2. Triângulos..................................................................................................................................................................... 9
1.1. Semelhança de triângulos........................................................................................................................................ 9
1.2. Classificação de triângulos................................................................................................................................... 10
3. Trigonometria e relações trigonométricas................................................................................ 11
1.1. Teorema de Pitágoras............................................................................................................................................ 11
1.2. Relações trigonométricas de ângulos.................................................................................................................. 12
1.3. Fórmula fundamental da trigonometria............................................................................................................. 13
1.4. Um problema de trigonometria............................................................................................................................ 14
4. Seno, coseno e tangente como funções reais de variável real..................................... 16
5. Propriedades importantes das funções trigonométricas................................................. 18
5.1. Valores das funções trigonométricas para
alguns ângulos-chave................................................................. 18
1.2. Paridade das funções trigonométricas................................................................................................................ 19
1.3. Sinal das funções trigonométricas....................................................................................................................... 19
1.4. Monotonia das funções trigonométricas............................................................................................................ 20
1.5. Redução ao primeiro quadrante.......................................................................................................................... 22
1.6. Periodicidade das funções trigonométricas........................................................................................................ 23
1.7. Resumo das propriedades das principais funções
trigonométricas............................................................... 24
6. Relações importantes de funções trigonométricas.............................................................. 27
1.1. Fórmulas de adição e subtracção........................................................................................................................ 27
1.2. Fórmulas de duplicação........................................................................................................................................ 28
1.3. Fórmulas de bissecção........................................................................................................................................... 28
1.4. Fórmulas de transformação................................................................................................................................. 28
7. Funções trigonométricas inversas........................................................................................................ 30
1.1. Arco seno: arcsen(a)............................................................................................................................................... 30
1.2. Arco coseno: arccos(a).......................................................................................................................................... 31
1.3. Arco tangente: arctg(a).......................................................................................................................................... 31
1.4. Arco co-tangente: arccotg(a)................................................................................................................................ 31
1.5. Resumo: domínio e contradomínio das funções
trigonométricas inversas................................................. 31
8. Resolução de algumas equações trigonométricas................................................................. 32
8.1. Resolução de equações de funções
trigonométricas do tipo f(x) = y............................................................ 32
1.2. Exemplo................................................................................................................................................................... 33
1.3. Funções trigonométricas inversas........................................................................................................................ 33
9. Derivadas de funções circulares e respectivas inversas.................................................... 34
9.1. Estudo do
............................................................................................................................................. 34
![](file:///C:/Users/ANDERS~1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image004.gif)
9.2. Derivadas de funções trigonométricas................................................................................................................ 35
1.3. Derivadas de funções trigonométricas inversas................................................................................................ 36
1.4. Resumo das derivadas de funções
trigonométricas e trigonométricas inversas......................................... 37
10. Exercícios resolvidos..................................................................................................................................... 38
Bibliografia................................................................................................................................................................... 41
Preâmbulo
Este texto resume os assuntos respeitantes a trigonometria e
geometria do plano leccionada no ensino público secundário, do 9º ao 12º ano.
Como tal, não se discutem neste texto funções trigonométricas hiperbólicas –
seno hiperbólico, coseno hiperbólico, etc. – que são abordadas em contextos
adequados, mais especificamente ao nível de cursos superiores de Matemática e
Física. Pressupõe-se que o leitor possui já conhecimentos razoáveis sobre as
matérias abordadas. Para um maior aprofundamento, recomenda-se a consulta de
livros de texto aprovados e usados nas escolas, tais como os indicados na
bibliografia.
Esta é uma segunda versão do texto original, datado de
Setembro de 1997. Foram feitas revisões e acréscimos relativamente à primeira
versão – essencialmente, esta revisão consistiu numa profunda remodelação do
aspecto visual. Foi incluído um capítulo com alguns exercícios resolvidos, no
final, dos quais se recomenda uma reflexão adequada à compreensão dos passos
envolvidos. É desejável que o leitor tente resolver os exercícios antes de ler
a resolução possível apresentada (porque em geral, como em muitas outras coisas
na Matemática, existe habitualmente mais que uma resolução). De facto,
identificar mais que uma resolução, e comparar as várias possíveis, pode
revelar-se útil no desenvolvimento de técnicas de solução de problemas.
Alguns parágrafos são de leitura
opcional em virtude da sua utilização pouco frequente na maior parte das
aplicações em Trigonometria, e foram introduzidos apenas com o intuito de
providenciar uma revisão dos conceitos neles abordados. Assim, os seguintes
parágrafos poderão ser ignorados sem grande prejuízo para a revisão de
conhecimentos fundamentais:
1.2.b.
Classificação de ângulos
quanto ao posicionamento (relativamente a
outros ângulos)
1.3.
Arcos de circunferência
2.1.
Semelhança de triângulos
Declaração
Este
texto é do domínio público, e pode ser distribuído livremente desde que as
seguintes condições sejam respeitadas:
2.
Eventuais correcções a este texto por parte de
terceiros deverão ser devidamente assinaladas pelos respectivos autores. A eles
cabe acrescentar numa página nova no texto, que em momento algum poderá ser
omitida, o(s) seu(s) nome(s), pelo menos um contacto, a data, e onde foi feita
a correcção.
3.
Nenhuma compensação, monetária, em géneros, ou qualquer
outra, poderá ser obtida a partir da divulgação deste texto, salvo para cobrir
as despesas necessárias à cópia e distribuição do texto (e.g. fotocópias,
suporte informático – como disquetes –, ou outro meio que sirva para armazenar
e permitir a leitura deste texto).
Consciente
de que estas condições são razoáveis, espero que sejam respeitadas
integralmente. O conhecimento é um património que não tem dono e como tal deve
ser divulgado sem restrições.
João
Miguel Nobre Batista
Setúbal,
Novembro de 2000
Como contactar o autor
Pode contactar
o autor deste texto pelo endereço, telefone, endereço de correio electrónico ou
página de Internet seguintes:
João Miguel Nobre
Batista
Avenida Luísa Tódi,
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2900-450 Setúbal
Tel. 265 228 384 / 91
427 0853
email:
jmnbpt@yahoo.com
Web:
www.geocities.com/jmnbpt
1. ![](file:///C:/Users/ANDERS~1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image005.gif)
Ângulos
Os ângulos de que se fala dizem
respeito a ângulos no plano. (Existe os chamados ângulos sólidos, definidos no espaço, mas estão fora do âmbito
desta Revisão.)
Assim, temos que o ângulo ao centro a é definido pela duas
semi-rectas da figura 1. Este é o ângulo mais pequeno definido pelas duas
semi-rectas (repare que têm a mesma origem, o vértice no centro da figura).
Outro ângulo definido pelas semi-rectas é o ângulo b, que é de abertura
visivelmente maior que o ângulo a. Por definição, uma volta completa no
plano define o ângulo de 360º, isto é,
a + b = 360º .
No plano, o sentido positivo atribuído aos ângulos é
contrário ao dos ponteiros do relógio. Na figura 2 está indicado o sentido de
crescimento de um ângulo. O ângulo a aumenta se a abertura aumentar no
sentido indicado pela seta. O sentido negativo é definido pela semi-recta OA movendo-se no sentido horário.
Em trigonometria, especialmente quando se usam funções
trigonométricas, definidas mais adiante, é costume usar outra unidade para os
ângulos em vez da indicada: é o radiano.
É definido de tal forma que um ângulo de π radianos é igual a 180º:
π radianos = 180º,
em que π é o número irracional
π=3,1415927..., definido pelo quociente entre o perímetro de uma circunferência
e o seu diâmetro. É usual não indicar a unidade “radianos” quando nos referimos
a um ângulo nestas unidades, quando não há perigo de confusão. Assim teremos,
por exemplo, que a = π/4 = 45º. Para ângulos em unidades de grau de arco, é
necessário indicar o símbolo " º " para distinguir da unidade
radiano. Há mais outra unidade de ângulo no plano, o grado, definida tal que 90º = 100 grados, mas é menos utilizada que
qualquer das anteriores.
1.1. Ângulo
trigonométrico
Um ângulo pode ter o valor real que se desejar. No entanto,
a semi-recta que dá o ângulo (com outra semi-recta, fixa, de referência)
completa uma volta após 360º, duas voltas após 720º, etc., ou uma volta no
sentido contrário, e nesse caso diz-se que descreveu um ângulo de –360º. O
menor ângulo a descrito pela semi‑recta é o ângulo trigonométrico, e para o ângulo j
descrito pela semi-recta tem-se:
j = a + k
· 360º, (1.1)
em que k é um número inteiro. O ângulo a é o de maior interesse em
trigonometria, em particular no que toca às funções trigonométricas, abordadas posteriormente. Por exemplo, se x = a + m
· 360º e y = a + n · 360º (m e n números inteiros), para igualar os
ângulos x e y é necessário que m=0 e n=0 (por exemplo), uma condição trivial.
A razão para a existência desta periodicidade para ângulos prende-se com o carácter das funções
trigonométricas, o qual será discutido adiante. No entanto, é necessário
definir univocamente a aplicação que dá o ângulo definido por duas rectas que
se intersectam. Portanto, e para esse efeito, medem-se os ângulos num domínio
que vai de 0º a 360º (ou, o que é equivalente, de 0 a 2π radianos), para que
nγo haja lugar para dϊvidas; no caso de um βngulo no plano, serα de 0Ί a 180º,
visto que para ângulos entre 180º e 360º já haverá outro ângulo mais pequeno
definido pelas duas rectas dadas – e que será inferior a 180º.
1.2. Classificação
de ângulos
1.2.a.
quanto à abertura
1)
![](file:///C:/Users/ANDERS~1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image006.gif)
Ângulo nulo: a = 0º – figura 3.a.
![](file:///C:/Users/ANDERS~1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image006.gif)
Ângulo nulo: a = 0º – figura 3.a.
2) Ângulo agudo: 0º < a
< 90º – figura 3.b.
Reparar que um
ângulo agudo a toma sempre um valor entre 0º e 90º, nunca tomando
qualquer destes valores. Exemplos: a = 30º , a = 75,4º , a
= 89,99º (nunca é igual a 90º ou 0º !).
3) Ângulo recto: a = 90º – figura 3.c.
4) Ângulo obtuso: 90º < a
< 180º – figura 3.d.
Novamente, o
ângulo obtuso apenas toma os valores intermédios, nunca os dos extremos que o
define.
5) Ângulo raso: a = 180º – figura 3.e.
6) Ângulo giro: a = 360º – figura 3.f.
Quando se chega a um ângulo 360º,
já se descreveu uma volta completa no plano – pelo que a abertura definida por
um ângulo giro (de 360º) é a mesma que é definida pelo ângulo raso. Na verdade,
e por essa razão, muitos autores identificam o ângulo de 0º (ou 360º, o que é
equivalente como acabámos de ver) como ângulo
raso ou giro. Para ângulos
superiores a 360º, voltamos novamente ao princípio – daí a definição periódica
para o ângulo dada pela expressão (1.1). Assim sendo, um ângulo de 390º será
equivalente a outro de 30º:
390º = 30º + 1 · 360º .
1.2.b. quanto
ao posicionamento (relativamente a outros ângulos)
Diz-se que a
e b
são complementares, ou que a
é complementar de b, e vice‑versa. Naturalmente, 0º < a < 180º, e b também (com a + b = 180º)!
Diz-se que a
e b
são suplementares, ou que a
é suplementar de b, e vice-versa. Naturalmente,
0º < a < 90º, e b também (com a + b = 90º)!
0º < a < 90º, e b também (com a + b = 90º)!
3) Ângulos verticalmente opostos: a
+ a’
+ b
+ b’
= 360º – figura 3.i.
Os ângulos a
e a’
dizem-se verticalmente opostos. Temos que a =
a’,
e também b = b’,
que também são verticalmente opostos.
1.3.
Arcos de circunferência
Um arco de
circunferência é definido de uma maneira semelhante à que foi feita para um
ângulo no plano. Desta feita, define-se um arco sobre uma circunferência.
Sobre uma circunferência, um ponto pode-se mover em dois
sentidos. O sentido positivo para os ângulos é, por convenção, anti‑horário, e
o negativo é o sentido horário. Dessa forma, quando um ponto da circunferência
se desloca sobre ela do ponto A para B, diz-se que esse ponto da circunferência
descreveu o arco
.
![](file:///C:/Users/ANDERS~1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image008.gif)
2. Triângulos
![](file:///C:/Users/ANDERS~1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image009.gif)
Propriedade 1: Todos os
triângulos, quaisquer que sejam, que a soma dos ângulos internos seja 180º,
isto é,
a
+ b
+ g
= 180º .
Isto verifica-se sempre para todos os triângulos
constituídos sobre uma superfície plana([1]).
Propriedade 2: A soma do comprimento de dois lados quaisquer é sempre maior
que o comprimento do terceiro lado.
Por exemplo: se
o Gabriel (no vértice de ângulo g) quiser ir à casa da Alexandra (vértice
de ângulo a),
percorrerá um caminho menor, de comprimento x,
indo directamente para lá do que passando primeiro pela casa da Beatriz (ângulo
b)
e indo depois até à casa da Alexandra (num percurso total dado por y + z).
2.1.
Semelhança de triângulos
Dois triângulos dizem-se semelhantes quando são homotéticos,
isto é, quando existe uma homotetia
entre os dois triângulos – os lados dos triângulos são proporcionais entre si.
Das seguintes relações de semelhança, conclui-se que os dois triângulos a
considerar são homotéticos:
a)
três lados proporcionais [LLL], ou
três ângulos iguais entre si [AAA];
![](file:///C:/Users/ANDERS~1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image010.gif)
três ângulos iguais entre si [AAA];
Este caso é
trivial, e resulta da definição de homotetia que foi agora apresentada. O
efeito produzido por [LLL] ou por [AAA] é o mesmo, e equivalem-se entre si:
dois triângulos com ângulos iguais entre si têm lados correspondentes com
comprimento de igual proporção, e vice‑versa – ver figura 5.
b)
dois
lados proporcionais e um ângulo igual [LLA];
Aqui, dois lados
dos triângulos são proporcionais, e um dos ângulos de um triângulo tem igual
abertura ao do ângulo correspondente no outro triângulo: a = a’ e x’/x = y’/y.
Consequências: z’/z obedece à mesma proporção entre os
comprimentos dos lados, e os ângulos correspondentes nos dois triângulos são
iguais entre si.
c)
dois
ângulos iguais e um lado proporcional [LAA];
Dois ângulos quaisquer são iguais. Tem-se a
= a’,
b = b’, e um valor para x’/x.
Então resulta que o terceiro ângulo é igual para os dois triângulos, e que os
lados são proporcionais.
Naturalmente, se nenhuma das três situações anteriores se verificar,
o par de triângulos considerados não são semelhantes.
Estas classificações não devem ser confundidas com as de
triângulo equilátero, isósceles e escaleno, definidos a seguir. Enquanto que
aquelas dizem respeito a relações entre dois triângulos, as últimas referem-se
à caracterização de um único triângulo.
2.2. Classificação
de triângulos
2.2.a.
quanto aos ângulos internos
1) Triângulo acutângulo
Todos os ângulos internos são agudos,
isto é, têm um valor inferior a 90º (mas nunca igual).
2) Triângulo rectângulo
Um dos ângulos
internos é recto; no caso da figura 6 é o ângulo a, e portanto temos a
= 90º. Os restante ângulos internos são necessariamente agudos, pois a sua soma
tem de ser igual a 90º, visto a soma
dos ângulos internos de um triângulo ter de ser 180º. Logo, esses dois ângulos
são suplementares.
3) Triângulo obtusângulo
Um
dos ângulos internos é obtuso, isto é, tem entre 90º e 180º; é o caso do ângulo
90º < a
< 180º. A soma dos restantes ângulos internos é inferior a 90º, visto ser condição obrigatória que a soma dos três
ângulos 180º. Claro, os restantes ângulos internos são agudos, pois não
ultrapassam 90º: a sua soma é até inferior a 90º.
2.2.b.
quanto ao número de lados/ângulos iguais
1) Triângulo equilátero
Todos os lados
são iguais. Todos os ângulos internos são iguais: a = b = g. Como a soma dos ângulos
internos é sempre 180º, forçosamente a = b = g = 60º. É um triângulo agudo, pois todos
os ângulos são menores que 90º. Como o nome indica, é “equilátero” – todos os
lados medem o mesmo: x = y =
z .
2) Triângulo isósceles
Temos dois lados
iguais (y e z, por exemplo), e dois ângulos iguais. Caso y = z, temos a
= b
≠ g
; ou seja, são iguais os ângulos não comuns aos lados iguais (a
e b
não são comuns aos lados x e y, que são iguais).
3) Triângulo escaleno
Todos os lados e
ângulos respectivos são diferentes.
Não deverá confundir estas
classificações com as de semelhança de triângulos (secção 2.1),
que dizem respeito a relações entre dois
triângulos!
3. Trigonometria e relações
trigonométricas
![](file:///C:/Users/ANDERS~1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image011.gif)
Limitarmo-nos-emos à trigonometria no plano. Assuntos mais
elaborados (alguns dos quais leccionados em cursos universitários), como
desenvolvimentos em série de Taylor de funções trigonométricas, números
complexos e funções trigonométricas hiperbólicas não serão abordados neste
texto. Ainda no intuito de manter a generalidade deste texto, que se pretende
uma simples revisão sobre trigonometria leccionada no ensino secundário, não
falarei também sobre trigonometria esférica.
Em trigonometria, os lados dos triângulos rectângulos
assumem nomes particulares, apresentados na figura ao lado. O lado mais
comprido, oposto ao ângulo recto θ,
chama-se hipotenusa; os lados
restantes, ligados ao ângulo recto, chamam-se catetos.
3.1. Teorema
de Pitágoras
O geómetra grego Pitágoras (570–501 a.C.) formulou o seguinte
teorema, que tem hoje o seu nome, e que relaciona a medida dos diferentes lados
de um triângulo rectângulo: a soma do
quadrado dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa. Ou seja, se x e y
forem o comprimento dos dois catetos e h
o comprimento da hipotenusa, ter-se-á:
x² + y² = h² .
A demonstração deste teorema pode ser efectuada através do
cálculo de áreas de triângulos rectângulos e de quadrados — ver figura 7. A
área de um quadrado com comprimento do lado de valor l é dada por l2.
Para um rectângulo de comprimento de base a e de altura b a área é dada pelo
produto destes dois comprimentos, isto é, a×b. Se dividirmos esse rectângulo com uma
diagonal, teremos dois triângulos rectângulos, com catetos de comprimento a e b;
a área de cada um é, então, metade da área do triângulo — ab/2.
![](file:///C:/Users/ANDERS~1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image012.gif)
![]() |
Observe agora a figura 8. O triângulo rectângulo tem lados de comprimento x e y. Pelo que se disse no parágrafo anterior, a área deste triângulo é xy/2. O quadrado que está junto ao triângulo foi escolhido de modo a ter comprimento do lado precisamente igual ao comprimento da hipotenusa do triângulo, ou seja, h. A área do quadrado é, naturalmente, h2. Ora bem, o triângulo pode ser “copiado” e “colado” aos restantes lados do quadrado de modo que se juntem as hipotenusas dos triângulos copiados aos lados do quadrado. Isto produz uma nova figura, um quadrado, no qual se inscrevem o quadrado e os triângulos — o “original” e as “cópias”. Este novo quadrado tem lado com comprimento x+y — canto inferior direito da figura 8.
Ora, a área do novo quadrado é (x+y)2, ou
seja, x2 + 2xy + y2.
Por outro lado, a área deste novo quadrado é igual ao espaço ocupado pelas
figuras anteriores – o quadrado e os quatro triângulos. Estas cinco figuras têm
áreas dadas por h2 e xy/2. Como temos quatro triângulos, a área que todos eles ocupam é 4×xy/2 = 2xy. Então, as cinco figuras dentro do quadrado maior ocupam uma
área que totaliza h2 + 2xy. Mas esta área é igual à do quadrado maior, como se
vê na figura 8. Portanto, temos
x2 + 2xy + y2 = h2 + 2xy Û x2
+ y2 = h2 ,
que é justamente a anterior fórmula
para o teorema de Pitágoras.
3.2. Relações
trigonométricas de ângulos
Na esmagadora maioria das aplicações trigonométricas
relacionam-se os comprimentos dos lados de um triângulo recorrendo a
determinadas relações dependentes de ângulos internos. Assim, apresentam-se de
seguida algumas relações trigonométricas com esse fim. No capítulo 5
discutir-se-á o intervalo de aplicabilidade (já sob o ponto de vista de funções
reais de variável real) de algumas das seguintes relações trigonométricas.
a)
Seno de a
É o quociente do
comprimento do cateto oposto ao
ângulo a
pelo comprimento da hipotenusa do triângulo, ou seja,
![](file:///C:/Users/ANDERS~1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image015.gif)
O seno de a
pode aparecer com uma das seguintes representações: sena, sina, sen(a), sin(a).
b)
Coseno de a
É o quociente do
comprimento do cateto adjacente ao
ângulo a
pelo comprimento da hipotenusa do triângulo, ou seja,
![](file:///C:/Users/ANDERS~1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image017.gif)
Em geral, o
coseno de a
aparece com uma das duas representações: cosa, cos(a).
c)
Tangente de a
É o quociente dos
comprimentos do cateto oposto pelo
cateto adjacente, ou seja,
![](file:///C:/Users/ANDERS~1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image019.gif)
É usual representar a tangente de a de uma das seguintes
maneiras: tana, tan(a),
tga,
tg(a).
d)
Co-tangente
de a
É definida como o
recíproco da tangente de a:
![](file:///C:/Users/ANDERS~1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image021.gif)
A co-tangente de
a pode aparecer representada de uma das maneiras seguintes: cotan(a),
cotg(a),
cotana,
cotga.
Pelas definições em c) e d), e segundo as definições em a) e b), podemos
ver ainda que:
![](file:///C:/Users/ANDERS~1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image023.gif)
![](file:///C:/Users/ANDERS~1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image025.gif)
e)
Secante e
co-secante de a
Definem-se ainda
as funções secante de a
e co-secante de a como, respectivamente:
![](file:///C:/Users/ANDERS~1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image027.gif)
![](file:///C:/Users/ANDERS~1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image029.gif)
A secante pode
ser representada por: sec(a), seca. A co-secante pode ser
representada por: cosec(a), coseca, csc(a), csca.
3.3. Fórmula
fundamental da trigonometria
A fórmula fundamental da trigonometria surge como um caso
particular do teorema de Pitágoras.
![](file:///C:/Users/ANDERS~1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image031.gif)
Pela definição de seno e de coseno
de um ângulo, dadas acima por a) e b), temos que:
![](file:///C:/Users/ANDERS~1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image033.gif)
A equação (3.1) é a fórmula fundamental da trigonometria.
Nela, sen2(a) = sen(a) · sen(a),
e o mesmo se sucede para cos2(a). Da fórmula fundamental da
trigonometria é ainda possível extrair outras fórmulas importantes; por
exemplo, dividindo-a por cos2(a), vem:
![](file:///C:/Users/ANDERS~1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image035.gif)
ou, dividindo por sen2(a):
![](file:///C:/Users/ANDERS~1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image037.gif)
3.4. Um
problema de trigonometria
Por vezes não nos é possível (por quaisquer razões)
encontrar os valores dos comprimentos dos lados e dos ângulos a partir dos
dados disponíveis – chama-se a isto resolver
um triângulo. Mas se conhecermos, por exemplo, um ângulo (que não seja o
ângulo recto, porque obviamente já é conhecido) e um lado de um triângulo
rectângulo, podemos encontrar os valores dos ângulos e lados que faltam. Para
isso necessitamos de dispor de ![](file:///C:/Users/ANDERS~1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image042.gif)
uma tabela trigonométrica ou de uma calculadora, para podermos obter os valores que tomam as funções trigonométricas para diferentes ângulos.
![](file:///C:/Users/ANDERS~1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image042.gif)
uma tabela trigonométrica ou de uma calculadora, para podermos obter os valores que tomam as funções trigonométricas para diferentes ângulos.
Suponhamos, por exemplo, que queríamos medir a altura h de uma torre de farol que nos é
inacessível, ou para a qual era incómodo e difícil efectuar directamente uma
medição sobre a torre com fita métrica. Como fazer?
Em primeiro lugar, mediu-se, no ponto A, o ângulo a que a extremidade mais alta da torre faz com a linha
de horizonte, e mediu-se a = 20º. Depois, afastamo-nos uma
distância apropriada – 10 metros, no caso presente([2]).
Faz-se uma nova medição do ângulo que o cimo da torre faz com a linha de
horizonte, e obteve-se o valor b = 18º.
Consultemos uma tabela, ou
usemos uma calculadora científica para obter os valores das funções
trigonométricas para os ângulos mencionados. Na tabela seguinte estão
transcritos os valores para os dois ângulos relevantes.
θ
|
sen(θ)
|
cos(θ)
|
tan(θ)
|
18º
|
0,309
|
0,951
|
0,325
|
20º
|
0,342
|
0,940
|
0,367
|
Que funções trigonométricas
utilizar? Pretende-se obter a altura da torre, h. Não sabemos a distância no solo até à torre, mas possuímos um
dado parecido: a distância entre dois pontos de observação. O problema
sugere-nos então que usemos a função tangente para calcular a altura da torre –
sabemos uma distância sobre um cateto, e queremos saber o comprimento de outro
cateto. Assim, teremos:
![](file:///C:/Users/ANDERS~1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image044.gif)
![](file:///C:/Users/ANDERS~1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image046.gif)
Talvez possamos usar a tangente, visto h ser comum a tan(a) e a tan(b), como se vê pelas duas
fórmulas acima. Assim, ficamos com:
h = b · tan(b)
= a · tan(a) .
E como b = a + 10,
![](file:///C:/Users/ANDERS~1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image048.gif)
Por fim, temos que a altura da torre
é:
h = a · tan(a)
= a · tan(20º) = 30,3 metros .
4. Seno,
coseno e tangente como funções reais de variável real([3])
![](file:///C:/Users/ANDERS~1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image049.gif)
A extensão do domínios das funções trigonométricas a toda a
recta real faz-se recorrendo ao círculo
trigonométrico. Ele é definido por uma circunferência de raio unitário
(isto é, igual a um) centrada na origem dos eixos coordenados.
O triângulo Δ[OPx]
é rectângulo no ângulo com o eixo das abcissas – o eixo dos XX – como se pode
ver pela figura. Visto a circunferência ter raio r = 1, todos os pontos distam da origem da mesma distância, r. Logo, o segmento [OP] tem comprimento
. Assim sendo, o quociente y/r representa o seno de a,
sendo r a hipotenusa. Da mesma forma,
x/r
representa o coseno do ângulo a.
![](file:///C:/Users/ANDERS~1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image051.gif)
Desta forma, posso definir o seno e o coseno do ângulo a
para todos os valores de a, e não somente para aqueles entre 0º
(ou 0 radianos) e 90º (ou π/2 radianos), como anteriormente. Temos então que:
![](file:///C:/Users/ANDERS~1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image053.gif)
![](file:///C:/Users/ANDERS~1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image055.gif)
Como no círculo trigonométrico o raio é r = 1, temos então que as coordenadas do ponto P(x,y) são: P(x,y)
= (x,y) = (cosa, sena). Escrevo desta forma as coordenadas do
ponto P(x,y) pois situa-se numa
circunferência de raio r = 1. Se
fosse r ≠ 1, teria de dividir as
coordenadas por r, sendo r2 = x2 + y2,
pelo teorema de Pitágoras([4]).
Prestando atenção à figura, veremos que
![](file:///C:/Users/ANDERS~1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image057.gif)
![](file:///C:/Users/ANDERS~1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image059.gif)
De igual forma, para o ângulo a = π radianos (meia-volta
no círculo), temos sen(π) = 0 e cos(π) = –1, obtemos o ponto P(x,y) = (0,–1). Quando temos a
= 2π radianos (uma volta completa começando em a = 0, isto é, sobre o eixo
dos XX), voltamos a ter o ponto (0,1) – logo sen(2π) = 0 e cos(2π) = 1.
Prosseguindo para outros valores, verificamos que as funηões se repetem cada
vez que adicionamos 2π radianos ao argumento (ângulo). Da mesma forma que temos
valores possνveis para o seno e o coseno quando a > 0, também é possível
atribuir valores às funções trigonométricas quando a < 0. Nesses casos,
temos ângulos descritos no sentido dos ponteiros do relógio. As duas funções
ficam então definidas para todos os valores da recta real.
Como se passarão as coisas com as funções tangente e
co-tangente? Recordemos a definição de tangente de a:
![](file:///C:/Users/ANDERS~1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image061.gif)
![](file:///C:/Users/ANDERS~1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image062.gif)
Pode-se usar o seguinte como mnemónica. “Marca-se” cosa
no eixo dos XX – o que corresponde à coordenada x do ponto P sobre a
circunferência – ou seja, corresponde à sua “distância” na horizontal, a partir
do centro do sistema de eixos. O sena é “marcado” no eixo dos YY, e
corresponde à coordenada y do ponto P, ou “altura” do ponto P([5]).
A tangente de a é assinalada pela “altitude” do ponto P’, ou seja, a sua ordenada. Ora, o
ponto P’ tem coordenadas P’(x,y) = (1, tana). Repare-se que os
triângulos são semelhantes, e para mais têm lados proporcionais. Portanto, o
quociente de comprimentos mantém-se – é igual o quociente de comprimentos dos
lados para os dois triângulos. No triângulo contido na circunferência, temos
tana
= y / x , e dentro da circunferência temos –1 < x < 1 porque os pontos P
sobre a circunferência de raio r = 1
nunca vão além de x = 1 ou de x = –1. Ora, o ponto P’ no segundo triângulo tem abcissa x = 1 pois situa-se sobre a vertical que
passa por
x = 1 no eixo dos XX. Sendo x = 1, temos então y = x · tana. Para ângulos “grandes”, ou melhor, tais que y > x, temos tana > 1. Como x = 1 em P’, temos que([6]):
x = 1 no eixo dos XX. Sendo x = 1, temos então y = x · tana. Para ângulos “grandes”, ou melhor, tais que y > x, temos tana > 1. Como x = 1 em P’, temos que([6]):
![](file:///C:/Users/ANDERS~1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image064.gif)
Nesse caso, a “altura” do ponto P’ dá-nos uma medida de tana.
O mesmo se passa para cotga. O seu valor vai
corresponder ao afastamento, à distância do ponto P’’, situado sobre o traço horizontal tangente à circunferência no
seu ponto mais “alto”. Quanto mais “alto” estiver o ponto P’, maior será o ângulo a, e mais a semi-recta definida pelo
ângulo com o eixo XX se aproxima do eixo YY, logo cotga diminui – bem como a
abcissa do ponto P’’.
Estas duas funções, no entanto, não podem ser definidas para
todos os valores reais. De facto, quando
a = π/2, a “altura” de P’ é infinita (ou seja, tana = ∞), e nesse caso a função não fica bem definida nesse ponto([7]). O mesmo se passa para 3π/2, 5π/2, e assim por diante – ou seja, qualquer ponto na forma a = π/2 + kπ, sendo k um número inteiro. Pelas mesmas razões cotga fica indefinida nos pontos a = 0, a = π, a = 2π – isto é, qualquer ponto na forma a = kπ. Portanto, o domνnio destas funηões deve necessariamente excluir todos estes pontos em que as funções não ficam bem definidas; os restantes pontos, obviamente, são permitidos.
a = π/2, a “altura” de P’ é infinita (ou seja, tana = ∞), e nesse caso a função não fica bem definida nesse ponto([7]). O mesmo se passa para 3π/2, 5π/2, e assim por diante – ou seja, qualquer ponto na forma a = π/2 + kπ, sendo k um número inteiro. Pelas mesmas razões cotga fica indefinida nos pontos a = 0, a = π, a = 2π – isto é, qualquer ponto na forma a = kπ. Portanto, o domνnio destas funηões deve necessariamente excluir todos estes pontos em que as funções não ficam bem definidas; os restantes pontos, obviamente, são permitidos.
5. Propriedades importantes das
funções trigonométricas
Neste capítulo serão apresentadas algumas importantes
propriedades das funções trigonométricas seno, coseno, tangente e co-tangente,
nomeadamente: paridade, sinal, monotonia, periodicidade, e o resultado de
redução ao primeiro quadrante. Já de seguida, serão dados também os valores
dessas funções trigonométricas para alguns ângulos do primeiro quadrante: 0º,
30º, 45º, 60º, e 90º.
5.1. Valores
das funções trigonométricas para alguns ângulos-chave
Existem alguns ângulos do primeiro quadrante para os quais é
possível determinar facilmente os valores tomados pelas funções
trigonométricas. Para ângulos de outros quadrantes, torna-se necessário
efectuar em primeiro lugar uma redução
ao primeiro quadrante. Finalmente, os restantes ângulos cuja redução ao
primeiro quadrante (discutida mais adiante) não devolve um destes ângulos, e
também para ângulos do primeiro quadrante que não sejam os descritos, é
necessário recorrer a tabelas trigonométricas ou uma calculadora científica ou
computador.
Para os ângulos 0 e π/2
radianos (ou, 0º e 90º, respectivamente), de imediato se encontram os
valores das funções trigonométricas. Para a = 0, a semi-recta que define o ângulo
com o semi-eixo positivo dos XX coincide com este. Logo, sendo r = 1 e cos a = x / r = x
, vem que cos a = 1 e sen a = 0. Daqui decorre que tana
= sena
/ cosa
= 0 , e cotga = 1 / tana = +∞. Para a = π/2 radianos, temos que
a semi-recta coincide com o semi-eixo positivo dos YY, fazendo com que sen a = 1 e cos a = 0. Daqui vem que tana = +∞ e cotga = 0.
![](file:///C:/Users/ANDERS~1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image065.gif)
![](file:///C:/Users/ANDERS~1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image067.gif)
![](file:///C:/Users/ANDERS~1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image069.gif)
![](file:///C:/Users/ANDERS~1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image071.gif)
![](file:///C:/Users/ANDERS~1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image073.gif)
![](file:///C:/Users/ANDERS~1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image075.gif)
![](file:///C:/Users/ANDERS~1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image077.gif)
Pela definição de tangente de a,
vem:
. Observando a figura, é ainda possível concluir que:
![](file:///C:/Users/ANDERS~1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image079.gif)
![](file:///C:/Users/ANDERS~1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image081.gif)
![](file:///C:/Users/ANDERS~1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image083.gif)
![](file:///C:/Users/ANDERS~1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image085.gif)
![](file:///C:/Users/ANDERS~1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image086.gif)
![](file:///C:/Users/ANDERS~1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image088.gif)
![](file:///C:/Users/ANDERS~1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image090.gif)
![](file:///C:/Users/ANDERS~1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image092.gif)
Sabendo então que sen(45º) = cos(45º), e aplicando a fórmula
fundamental da trigonometria, vem:
![](file:///C:/Users/ANDERS~1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image094.gif)
Pela definição,
![](file:///C:/Users/ANDERS~1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image096.gif)
Em
resumo, temos o seguinte quadro:
|
Valores do argumento a (radianos)
|
||||
0
|
π/6
|
π/4
|
π/3
|
π/2
|
|
sena
|
0
|
1/2
|
![]() |
![]() |
1
|
cosa
|
1
|
![]() |
![]() |
1/2
|
0
|
tana
|
0
|
![]() |
1
|
![]() |
∞
|
cotga
|
∞
|
![]() |
1
|
![]() |
0
|
|
0º
|
30º
|
45º
|
60º
|
90º
|
Valores do argumento a (graus)
|
5.2.
Paridade das funções trigonométricas
![](file:///C:/Users/ANDERS~1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image109.gif)
a) O seno é ímpar
Seja a
= –b, isto é, a
= |b|, e b = –|a| = –a. Ora, sena = y/r. Projectando o ângulo
b sobre o eixo dos YY,
então vem que senb = y’/r
< 0, pois y’ < 0. Vê-se facilmente que: senb
= y’/r < 0, e por conseguinte sena = y/r = –y’/r = –senb
= –sen(–a)
Û
sen(–a)
= –sen(a).
Logo, a função seno é ímpar.
b) O coseno é par
Seja a
= –b. Ora, cosa
= x/r, e cosb
= x’/r. Na projecção para a figura acima, facilmente se verá que
x = x’. Logo, cosa = x/r = x’/r = cosb = = cos(–a). Portanto, a função coseno é par.
x = x’. Logo, cosa = x/r = x’/r = cosb = = cos(–a). Portanto, a função coseno é par.
c) A tangente é ímpar
Seja a
= –b. Ora, tana
= y/x, e tanb
= y’/x’, pela figura anterior – aliás, basta dividir seno por coseno.
Analogamente, prova-se que tan(–a) = –tana – ou seja, a tangente é
ímpar.
d) A co-tangente é ímpar
A demonstração
é análoga a c). Sendo a = –b,
y = –y’ e x = x’, como se pode concluir do gráfico
acima, vem que cotg(–a) = –cotga: a co-tangente é ímpar.
5.3. Sinal
das funções trigonométricas
5.3.a.
Seno
Esta função é ímpar, e como tal sen(–a) = –sen(a).
Logo, para um ângulo a situado no 1ºQ, teremos que o seno do
ângulo –a,
situado no 4ºQ, tem um valor simétrico. Como no 1ºQ sena > 0, então para a
Î
4ºQ, temos sena < 0.
Um ponto P(x,y) do 2ºQ tem coordenadas tais que x<0 (pois encontra-se na região onde
x toma valores negativos – o valor x=0
corresponde ao centro do sistema de eixos, ou melhor, a todos os pontos com
abcissa nula (x=0), situados no eixo
dos YY), e y>0. Por definição sena =
y/r
– relembrar que o seno se “marca” no eixo dos YY, correspondente à “altura” do
ponto P(x,y) a considerar, caso r=1.
Ora r>0, pois trata-se de uma
distância, sendo sempre um número não negativo. Como r>0 sempre, e nessa região particular (2ºQ), temos que y>0; então sena>0 no segundo
quadrante.
O que se sucede no 3ºQ? Seja a um ângulo positivo
pertencente ao 2ºQ (ou seja, tem‑se π/2 < a < π); o ângulo b = –a pertence ao 3ºQ. De facto, e como a
função seno tem período 2π (isto é, repetem-se os valore e a monotonia da
função em intervalos de largura 2π), o ângulo b+2π
ainda se situa na mesma regiγo do plano (3ºQ), e b
= –a
Û
b + 2π = 2π – a.
Resolva-se então a desigualdade que resulta da localização de a
no 2ºQ:
π/2 < a < π
Û –π/2 > –a > –π Û 2π – π/2 >
2π – a
> 2π – π Û 3π/2 > 2π – a > π Û
Û 3π/2 > 2π + b > π .
Û 3π/2 > 2π + b > π .
Então: b
+ 2π > π, e ainda 3π/2 > b +
2π Û
b + 2π < 3π/2, ou
ainda: π < 2π + b
< 3π/2.
Com a aplicação dada pelo ângulo no plano com o eixo dos XX
é uma aplicação de período 2π (isto é, os ângulos voltam a ser iguais ao fim de
um arco de 360º = 2π radianos), então b situa-se no 3ºQ pois é maior que π e
menor que 3π/2, como queríamos demonstrar.
A função seno é ímpar – verifica-se que sen(–a)
= –sen(a),
"aÎIR. De facto, se aÎ2ºQ então bÎ3ºQ (como vimos), e senb
= sen(–a)
= –sen(a).
No 2ºQ o seno toma valores positivos (recordar que y>0), logo toma valores negativos no 3ºQ. De resto, um ponto P(x,y)Î3ºQ
tem ordenada y<0, logo o seno de
um ângulo pertencente ao 3ºQ é de facto negativo.
5.3.b.
Coseno
Esta função é par, isto é, para qualquer ângulo a
verifica-se cos(–a) = –cos(a). Por definição, sendo r>0 a distância de um ponto do plano
à origem do sistema de eixos, e x a
distância da projecção do ponto sobre o eixo dos XX, temos cos(a)
= x/r.
No primeiro quadrante, x>0.
Logo cos(a)>0,
para todo o aÎ1ºQ.
Também no 4ºQ se tem x>0,
embora y<0.Mas apenas x (e r)
aparecem na definição do coseno, portanto cos(a)>0 para aÎ4ºQ.
De facto, e como vimos acima, se b
= –a
e aÎ1ºQ,
então bÎ4ºQ.
No 2ºQ e 3ºQ, x<0.
Logo, cos(a)<0
para a
pertencente a qualquer destes dois quadrantes. De facto, se aÎ2ºQ e
a
= –b, então bÎ3ºQ, e como a função seno é par, resulta que cos(b) = cos(–a) = –cos(a).
5.3.c.
Tangente
A função é ímpar, ou seja, para qualquer ângulo a,
tan(–a)
= –tan(a).
Por definição, para qualquer ângulo a que não coincida com o eixo YY, isto é,
que lhe não seja paralelo (ou ainda, que não faça um ângulo recto com o eixo
dos XX), tana = y/x. Naturalmente, esta função “dá problemas” quando
x=0, o que ocorre para os argumentos ±π/2, ±3π/2, ±5π/2,... , ou seja, βngulos
que são perpendiculares ao eixo dos XX e para os quais a tangente toma um valor
infinito, não podendo portanto ser definida nesses pontos. Para a=0,
±π, ±2π,... , temos tana =0, visto nesses casos se ter y=0, e aí a tangente anula-se Fora estes
pontos, a tangente pode tomar qualquer outro valor real.
No 1ºQ, x>0 e y>0, logo tana>0. No 2ºQ, x<0 e y<0, o que faz tana<0. No 3ºQ tem‑se x<0 e y<0, portanto tana>0. Finalmente, no 4ºQ tana<0
porque x>0 mas y<0.
5.3.d.
Co-tangente
A função é ímpar e tem o mesmo sinal da função tangente,
pois apenas difere desta por ser a sua recíproca – isto é, cotga
= 1 / tana
= x / y. A função não está definida para os pontos a = 0, a = ±π, a
= ±2π – ou seja, todos os pontos da forma ±kπ
(com k inteiro positivo ou nulo), em que se verifica que y = 0.
Em suma, temos o seguinte quadro:
|
Sinal das funções trigonométricas
|
|||
1ºQ
|
2ºQ
|
3ºQ
|
4ºQ
|
|
sena
|
+
|
+
|
–
|
–
|
cosa
|
+
|
–
|
–
|
+
|
tana
|
+
|
–
|
+
|
–
|
cotga
|
+
|
–
|
+
|
–
|
|
"+"
= positivo
|
"–"
= negativo
|
5.4. Monotonia
das funções trigonométricas
Trata-se de se conhecer em que intervalos as funções
crescem, decrescem, ou se mantêm constantes se for caso disso.
Para toda a recta real, as funções seno e coseno dizem-se oscilantes, ou seja, não têm uma
monotonia que se mantenha ao longo de todo o seu domínio de aplicação. Quanto à
tangente e à co-tangente, não é possível falar de monotonia da mesma maneira
que o seno ou o coseno, mas apenas a restrições dos seus domínios; falar‑se‑á
disso adiante.
O comportamento das funções trigonométricas é diverso do
anterior quando se trata de restrições do domínio de aplicação. Assim, por
exemplo, a função seno é crescente no intervalo ]–π/2,π/2[. Com efeito, sendo
sena
= y/r, nesse intervalo o valor de y
– a projecção do ponto P(x,y) do círculo trigonométrico no eixo dos
YY – vai aumentando.
5.4.a.
Seno
No primeiro quadrante (0 < a < p/2),
a função é crescente pois y aumenta
com a.
No segundo quadrante (p/2 < a
< p),
a função é decrescente pois y diminui
com a.
No terceiro quadrante (p < a < 3p/2), a função é decrescente porque y continua a diminuir à medida que
aumentamos o ângulo a (recorde-se que o sentido do aumento do
ângulo a
é o sentido anti-horário).
No quarto quadrante (3p/2 < a
< 2p), a função seno torna a crescer, pois nesse
intervalo y cresce com o ângulo a.
5.4.b.
Coseno
Primeiro quadrante (1ºQ): o coseno é decrescente porque a
projecção do ponto P(x,y) vai-se aproximando do centro do eixo
à medida que a aumenta, ou seja, à medida que x diminui.
Segundo quadrante: a função é decrescente (ou melhor, cresce
em valor absoluto, mas com sinal negativo), porque x continua a diminuir com o aumento de a.
Terceiro quadrante: é crescente, porque x começa agora a aumentar (ainda com valor negativo; decresce em
valor absoluto, mas com sinal negativo).
Quarto quadrante: crescente.
5.4.c.
Tangente
É crescente no 1ºQ (veja-se a monotonia das funções seno e
coseno acima). Relembrando a monotonia dos valores das coordenadas do ponto
P(x,y) sobre o círculo trigonométrico de raio unitário – y para o valor de sena, e x para o valor de cosa
– y aumenta e x diminui com o ângulo a.
No segundo quadrante, a tangente de a é crescente, porém de
valor negativo, porque aí x<0 e y>0. Porém, à medida que a
aumenta, x vai aumentando também (distância
da projecção do ponto P sobre o eixo dos XX), ao passo que y (o comprimento da projecção do ponto P sobre o eixo dos YY) vai
diminuindo.
Para o 3ºQ, pode-se fazer a análise da monotonia da função
do mesmo modo. Projectando um ponto P(x,y)Î3ºQ sobre o “eixo das
tangentes” (a recta vertical a tracejado no lado direito do círculo
trigonométrico representado na figura 15), temos que tana > 0, e se a aumentar, tana aumentará também. Logo,
no 3ºQ a tangente é crescente.
No 4ºQ a tangente também é crescente. Basta projectar o
ponto P(x,y) do círculo trigonométrico sobre o “eixo das tangentes”, segundo a
recta que assenta na semi-recta definida pelo ângulo a com o eixo dos XX, para
constatar que a “altura” do ponto P’, projecção de P, vai aumentando, ainda que
com valor negativo.
A conclusão a tirar daqui é que a monotonia da função
tangente de a é sempre crescente em todos os pontos do seu domínio.
Claro, a tangente não fica definida para ±p/2 (e outros valores para
o argumento a que produzam
ângulos com a mesma abertura), pois estes pontos não fazem parte do domínio,
porque para esses valores do argumento a tangente assume valores infinitos.
5.4.d.
Co-tangente
O estudo da monotonia da
co-tangente faz-se de modo semelhante ao efectuado para a tangente. Conclui-se
que a função é sempre decrescente em todo o seu domínio de aplicação (1ºQ, 2ºQ,
3ºQ e 4ºQ).
|
Monotonia das funções trigonométricas
|
|||
1ºQ
|
2ºQ
|
3ºQ
|
4ºQ
|
|
sena
|
+
|
–
|
–
|
+
|
cosa
|
–
|
–
|
+
|
+
|
tana
|
+
|
+
|
+
|
+
|
cotga
|
–
|
–
|
–
|
–
|
|
"+" = crescente
|
"–"
= decrescente
|
5.5. Redução
ao primeiro quadrante
![](file:///C:/Users/ANDERS~1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image111.gif)
Existem certos ângulos para os quais as funções
trigonométricas tomam valores fáceis de determinar, e que convém ter sempre
presente. No entanto, alguns desses ângulos podem cair noutros quadrantes que
não o 1º, e nesse caso convém reduzi-los ao 1º quadrante, até porque as tabelas
trigonométricas apresentam ângulos que dizem respeito a esse quadrante.
Assim, iremos descobrir o comportamento das funções
trigonométricas nos restantes quadrantes, e compará-lo com os valores tomados pelas
funções trigonométricas para ângulos do primeiro quadrante. Na figura 16, o 1ºQ
corresponde ao intervalo 0 < a < p/2, o 2ºQ a p/2
< a
< p,
o 3ºQ a p
< a
< 3p/2,
e o 4ºQ a 3p/2
< a
< 2p.
Considere-se, por exemplo, que aÎ1ºQ, e bÎ2ºQ, tal que b
= a
+ p/2.
O que resulta da redução ao primeiro quadrante das funções trigonométricas para
o ângulo b? Repare-se que esta
redução terá de ser tal que se relacionem funções com o mesmo contradomínio,
isto é, senos com cosenos (que têm contradomínio [–1,1] ) e tangentes com
co-tangentes (de contradomínio ]–∞, +∞[ ).
Comecemos pela função seno. No 2ºQ, o seno diminui, pois y/r
diminui com o aumento de b.
Para a,
é o coseno que diminui com o aumento de a. Se a for apenas um pouco maior que 0º
(próximo de 0º, mas no 1ºQ), teremos que b
será também apenas um pouco maior que p/2: lembre-se que b = a + p/2, neste caso. Assim,
como cos(a)
se aproxima de 1 nessa situação, e sen(b)
também se aproxima de 1, há equivalência geométrica entre cosa
e senb, ou seja: sen(b) = cos(a).
Para o coseno, e ainda para a situação em que a®0 e b®p/2, acima destes valores (para que a e b
continuem no 1ºQ e 2ºQ, respectivamente), temos que sen(a)®0 e cos(b)®0. Mas no 2ºQ, o coseno
toma valores negativos, pois x<0:
cos(b)<0. No 1ºQ, por
outro lado, o seno toma valores
positivos, pois y>0: sen(a)>0.
Quer cos(b) quer sen(a)
tendem para zero quando a®0 e b®p/2
por valores acima dos indicados, portanto podemos relacionar sen(a)
e cos(b): temos cos(b) = –sen(a), com aÎ1ºQ e bÎ2ºQ.
O sinal negativo, como acabo de referir, advém do facto de que o coseno toma
valores negativos no 2ºQ e o seno valores positivos no 1ºQ.
![](file:///C:/Users/ANDERS~1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image112.gif)
cosb = x’. Consideremos que o ângulo a é suficientemente pequeno para que nos seja fácil visualizar o que se segue, e que b = a + p/2, ou seja, também b forma um ângulo com o eixo dos YY, da mesma abertura que a forma com o eixo dos XX. Pode-se constatar que o triângulo definido no primeiro quadrante pelo ângulo a (o triângulo Δ[OPX]) é igual ao triângulo do segundo quadrante, definido pelo ângulo b – p/2. Ou seja, o segundo triângulo resulta de uma rotação de p/2 radianos do primeiro triângulo em torno do centro do sistema de eixos, o ponto O. Assim, o cateto de maior comprimento no triângulo Δ[OPX] é igual ao cateto de maior comprimento no segundo triângulo, que assenta sobre o eixo dos YY, no segundo quadrante. O mesmo se passa para os catetos de menor comprimento dos dois triângulos.
Deste modo, pode-se constatar que sena = y = –x’ = –cosb – ou seja, sena = –cosb.
O sinal negativo surge porque y>0
e x’<0, pois x’ encontra-se à esquerda do ponto no eixo dos XX em que x=0). Também se pode ver que cosa
= x = y’ = senb
(aqui já não há troca de sinal, pois x
e y’ são ambos positivos). Além
disso, tanb e cotgb relacionam-se com tana e cotga
de modo semelhante, e podemos descobrir as relações recorrendo a um raciocínio
geométrico como o atrás descrito, ou de imediato por cálculos algébricos:
![](file:///C:/Users/ANDERS~1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image114.gif)
e
![](file:///C:/Users/ANDERS~1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image116.gif)
Para outros quadrantes, o
tratamento é semelhante, e sugere-se que o leitor os realize a título de
exercício. Os resultados para outros quadrantes encontram-se resumidos no
seguinte quadro:
|
Redução de funções trigonométricas ao primeiro quadrante
|
||
2º quadrante
b
= p/2 + a
|
3º quadrante
b
= p + a
|
4º quadrante
b
= 3p/2 + a
|
|
sen(b)
|
cos(a)
|
–sen(a)
|
–cos(a)
|
cos(b)
|
–sen(a)
|
–cos(a)
|
sen(a)
|
tg(b)
|
–cotg(a)
|
tg(a)
|
–cotg(a)
|
cotg(b)
|
–tg(a)
|
cotg(a)
|
–tg(a)
|
a = Ângulo do 1º quadrante
|
b = Ângulo a converter
|
5.6. Periodicidade
das funções trigonométricas
Em virtude das características da aplicação “menor ângulo de
uma semi-recta com o semi-eixo positivo dos XX” (centrada na origem dos eixos),
as funções trigonométricas, que têm por argumento um ângulo no plano, terão
certas características, nomeadamente a repetição periódica de valores, e para
os quais se verificam as mesmas características de monotonia (crescente ou
decrescente). Por outras palavras, as funções trigonométricas são periódicas, e
como tal voltamos a ter os mesmos valores para a função ao fim de um número
inteiro de períodos, e para os quais a função toma as mesmas características de
monotonia: nesse ponto, a função é crescente, ou decrescente, consoante o valor
do argumento da função.
![](file:///C:/Users/ANDERS~1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image117.gif)
a + 2p, a função toma o mesmo valor que para o ângulo a, e também está em crescimento([8]). O mesmo se passa para outro ângulo b + 2p, relativamente a 2p. Ou seja, ao fim de uma volta completa os valores de seno repetem-se, e com a mesma monotonia. O mesmo se passa para a função coseno, como se poderá facilmente verificar: ao fim de uma volta completa (arco de 2p radianos), a função retoma os mesmos valores, e com o mesmo sentido de crescimento (monotonia).
As funções tangente e co-tangente, por outro lado, têm
apenas período p,
isto é, os valores repetem-se com a mesma monotonia (crescente e decrescente,
respectivamente) ao fim de arcos múltiplos de p. Ora, por definição de
tangente, tgθ = y/x = senθ / cosθ. No 1ºQ, senθ>0 e
cosq>0, logo tgθ>0. No 2ºQ, senθ>0 e cosθ<0 – logo
tgθ<0. No 3ºQ, senθ <0 e cosθ<0, logo tgθ>0.
Mas no 3ºQ, sendo aÎ1ºQ
tal que θ = a + p, a redução ao primeiro
quadrante resulta em senθ = –sena,
e cosθ = –cosa. Assim, tgθ = senθ / cosθ = sena
/ cosa
= tga
– ou seja, a tangente repete os mesmos valores. E quanto à monotonia? Como se
viu acima, a tangente tem sempre a mesma monotonia (crescente), pelo que não é
necessário preocuparmo-nos com esse pormenor. O mesmo se passa para o 4ºQ, como
facilmente se poderá constatar (sugere-se como exercício de demonstração para o
leitor). Logo, a tangente tem período p, e não 2p como
o seno ou o coseno.
Para a co-tangente, a análise é semelhante.
Em resumo: as funções seno
e coseno têm período 2p
(isto é, os valores repetem-se com a mesma monotonia ao fim de uma volta
completa), e as funções tangente e co-tangente têm período p (os
valores repetem-se com a mesma monotonia ao fim de meia volta ao círculo
trigonométrico).
5.7. Resumo
das propriedades das principais funções trigonométricas
Nesta secção far-se-á um resumo das principais propriedades
das funções trigonométricas mais frequentemente usadas: seno, coseno, tangente
e co-tangente.
No que se segue,
·
IR e ] –∞ , +∞ [
denotam toda a recta dos números reais;
·
os traços verticais mais finos, onde existentes,
representam pontos múltiplos ou submúltiplos de p (±p/2, ±3p/2,
±2p,
etc.)([9]);
·
as assimptotas horizontais são representadas a
traço mais fino.
5.7.a. Seno
de a
f(a) = sena = y
/ r
·
Função ímpar, positiva no 1º e 2ºQ, negativa no
3º e 4ºQ.
·
Monotonia:
crescente no 1º e 4ºQ, decrescente no 2º e 3ºQ.
·
Domínio:
] –∞ , +∞ [
Ou seja, a função pode ter por argumento qualquer número real.
Ou seja, a função pode ter por argumento qualquer número real.
·
Contradomínio:
[–1 ; +1]
Nos pontos máximo e mínimo do círculo trigonométrico (circunferência de raio r = 1), tem-se y = 1 e y = –1. Nesses pontos, temos sena = 1 e sena = –1, respectivamente.
Nos pontos máximo e mínimo do círculo trigonométrico (circunferência de raio r = 1), tem-se y = 1 e y = –1. Nesses pontos, temos sena = 1 e sena = –1, respectivamente.
·
Período: 2p
![](file:///C:/Users/ANDERS~1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image119.gif)
5.7.b.
Coseno de a
f(a)
= cosa = x / r – função par,
positiva no 1º e 4ºQ, negativa no 2º e 3ºQ. Monotonia
: crescente no 3º e 4ºQ, decrescente no
1º e 2ºQ. Domínio: ] –∞ , +∞ [. Contradomínio: [–1 ; +1]. Período: 2p
![](file:///C:/Users/ANDERS~1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image121.gif)
5.7.c.
Tangente de a
f(a)
= tga = y / x – função ímpar,
estritamente crescente em todo o domínio. Positiva no 1º e 3ºQ, negativa no 2º
e 4ºQ.
Domínio:
IR\{kp+p/2, k = 0, ±1, ±2,...} . Contradomínio: ]–∞ ,+∞[. Período: p.
![](file:///C:/Users/ANDERS~1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image123.gif)
5.7.d. Co-tangente
de a
f(a) = cotga
= x / y – função ímpar, estritamente decrescente em todo o domínio.
Positiva no 1º e 3ºQ, negativa no 2º e 4ºQ.
Domínio:
IR\{kp,
k = 0, ±1, ±2,...}. Contradomínio: ] –∞ , +∞ [. Período: p.
![](file:///C:/Users/ANDERS~1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image125.gif)
6. Relações importantes de
funções trigonométricas
Em muitos casos sucede-se que ocorram relações que envolvam
funções trigonométricas diferentes das que temos visto até aqui. Algumas dessas
relações podem envolver, por exemplo, funções trigonométricas de somas de
ângulos, ou determinadas funções que envolvem funções trigonométricas de um
ângulo, e cuja escrita pode ser simplificada. Nesta curta introdução não
adiantarei muito mais, porém deixarei que a leitura das secções seguintes
permita ao leitor o esclarecimento destes pontos. No final deste capítulo é
apresentada uma tabela com os resultados aqui obtidos.
6.1. Fórmulas
de adição e subtracção
![](file:///C:/Users/ANDERS~1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image126.gif)
![](file:///C:/Users/ANDERS~1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image128.gif)
![](file:///C:/Users/ANDERS~1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image130.gif)
![](file:///C:/Users/ANDERS~1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image132.gif)
e b
– a
é o ângulo que
faz com
. O ponto A, pela figura 23, tem coordenadas (cosa,
sena),
e o ponto B tem coordenadas (cosb,
senb). Visto os vectores
terem origem no ponto O(0,0), as coordenadas dos vectores coincidirão com as
coordenadas dos pontos A e B. com isto em mente, o produto interno dos dois
vectores pode ainda ser escrito como:
![](file:///C:/Users/ANDERS~1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image130.gif)
![](file:///C:/Users/ANDERS~1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image134.gif)
(cosa, sena) · (cosb, senb) = cosa · senb + sena · cosb
Fazendo equivaler as duas expressões
para o produto interno dos dois vectores, e notando que
(visto que o círculo
trigonométrico tem raio r=1 – ver
figura 19), temos finalmente:
![](file:///C:/Users/ANDERS~1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image136.gif)
cos(b
+ a)
= cosa
· cosb + sena
· senb.
cos(b
+ (–a))
= cosa
· cosb – sena
· senb.
Calculemos de seguida sen(b
– a).
Para dois ângulo suplementares (isto é, cuja soma é p/2 radianos), verifica-se
que o seno de um ângulo é igual ao coseno do outro ângulo. Observe a figura 24:
supondo que a hipotenusa é h=1, o
comprimento do cateto adjacente a a é cosa. O cateto adjacente ao
ângulo a
é simultaneamente o cateto oposto ao ângulo b – logo, cosa =
senb. Igualmente, sena = cosb,
como se poderá constatar observando a mesma figura.
sen(b – a) = cos[p/2 – (b – a)] =
= cos(p/2 – b +a) = cos[a – (b – p/2)] =
= cosa · cos(b – p/2) + sena · sen(b – p/2) =
= cosa · [cosb · cos(p/2) + senb · sen(p/2)] + sena · sen(b–p/2).
= cos(p/2 – b +a) = cos[a – (b – p/2)] =
= cosa · cos(b – p/2) + sena · sen(b – p/2) =
= cosa · [cosb · cos(p/2) + senb · sen(p/2)] + sena · sen(b–p/2).
Ora, cos(p/2)=0 e sen(p/2)=1.
O seno tem período 2p
(isto é, senθ = sen(θ + 2p) ), e por conseguinte
sen(b – p/2) = sen(b + 3p/2). Faz-se esta redução ao primeiro quadrante: sen(b – p/2) = sen(b + 3p/2) = –cosb. Assim,
sen(b – p/2) = sen(b + 3p/2). Faz-se esta redução ao primeiro quadrante: sen(b – p/2) = sen(b + 3p/2) = –cosb. Assim,
sen(b
+ a)
= ... = cosa · (0 · cosb
+ 1 · senb) + sena
· (–cosb) = cosa
· senb – sena
· cosb.
Substituindo agora b + a por b
– (–a),
vem:
sen(b – a) = sen(b + (–a)) = cos(–a) · senb – sen(–a) · cosb.
Lembrando a paridade das funções
seno e coseno, temos: cos(–a) = cosa e sen(–a)
= –sena.
Logo,
sen(b
– a)
= cosa
· senb + sena
· cosb.
O cálculo de tg(b
± a)
faz-se dividindo sen(b
± a)
por cos(b ± a),
como de resto resulta da definição de tangente de um ângulo. Portanto,
![](file:///C:/Users/ANDERS~1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image138.gif)
![](file:///C:/Users/ANDERS~1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image140.gif)
6.2. Fórmulas
de duplicação
Neste caso, faz-se a = b
e aplicam-se as fórmulas obtidas em 6.1
para arcos a
+ b = 2a.
Fica então:
sen(2a) = 2 · sena · cosa cos(2a) = cos2a
– sen2a
.
![](file:///C:/Users/ANDERS~1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image142.gif)
6.3. Fórmulas
de bissecção
Neste caso, faz-se a substituição 2b
= a,
e usam-se as fórmulas obtidas em 6.2,
e a fórmula fundamental da trigonometria (relação (3.1)).
![](file:///C:/Users/ANDERS~1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image144.gif)
![](file:///C:/Users/ANDERS~1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image146.gif)
Para obter sen(a/2), voltamos a usar a relação (3.1):
![](file:///C:/Users/ANDERS~1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image148.gif)
Novamente, para obter tg(a/2) divide-se sen(a/2) por cos(a/2):
![](file:///C:/Users/ANDERS~1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image150.gif)
6.4. Fórmulas
de transformação
Interessa, por vezes, transformar somas ou diferenças de
senos ou de cosenos em produtos de funções trigonométricas. Para tal, comecemos
por definir a seguinte mudança de variáveis, invertível, T:
![](file:///C:/Users/ANDERS~1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image151.gif)
T
b = a – b
Daqui resulta ainda a transformação
inversa, T’:
![](file:///C:/Users/ANDERS~1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image152.gif)
![](file:///C:/Users/ANDERS~1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image154.gif)
T’
![](file:///C:/Users/ANDERS~1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image156.gif)
Aplicando agora a transformação T’:
![](file:///C:/Users/ANDERS~1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image158.gif)
Da aplicação da transformação T resulta:
![](file:///C:/Users/ANDERS~1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image160.gif)
Para calcular sena – senb,
usa-se a paridade da função seno e substitui-se –senb
por sen(–b). Logo,
![](file:///C:/Users/ANDERS~1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image162.gif)
O mesmo método é usado para calcular cosa + cosb
e cosa
– cosb, bem como para outras
relações entre as funções – como o produto de funções, por exemplo.
Os resultados obtidos neste capítulo são resumidos no
seguinte tabela:
Fórmulas de adição
|
Fórmulas de subtracção
|
sen(b + a)
= cosa
· cosb + sena
· cosb
|
sen(b – a) = cosa · senb – sena · cosb
|
cos(b + a)
= cosa
· cosb – sena
· senb
|
cos(b – a)
= cosa
· cosb – sena
· senb
|
![]() |
![]() |
Fórmulas de duplicação
|
Fórmulas de bissecção
|
sen(2a)
= 2 . sena
. cosa
|
![]() |
cos(2a)
= cos2a – sen2a
|
![]() |
![]() |
![]() |
Fórmulas de transformação
|
|
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
7. Funções trigonométricas
inversas
Esta classe de funções representa a aplicação inversa para
cada função trigonométrica já discutida. Devido às propriedades de
periodicidade das funções trigonométricas, as respectivas inversas não são
injectivas([12])
quando se toma o domínio das funções trigonométricas – ou seja, para um
determinado argumento das funções trigonométricas inversas, estas devolvem como
solução uma infinidade de ângulos possíveis, separados de um número inteiro de
períodos da função trigonométrica original (2p no caso do seno, coseno,
secante e co-secante, e p no caso da tangente e co-tangente).
Desse modo, é necessário que as funções trigonométricas
inversas tenham um domínio restrito, para que a aplicação seja bem definida. De
facto, porque uma aplicação não pode ter, para o mesmo argumento, dois valores
distintos, há que restringir esta classe de aplicações a um domínio onde as
funções trigonométricas sejam injectivas. Esse domínio deve também ser
escolhido por forma a que todos os seus elementos tenham imagem no
contradomínio da função trigonométrica, isto é, os contradomínios das funções
restringida e não restringida devem ser coincidentes. Por exemplo, sendo [–1;
+1] o contradomínio da função seno –
isto é, a imagem da aplicação da função a qualquer
ponto do seu domínio cai sobre este intervalo –, deve-se escolher uma restrição
do domínio da função seno tal que os seus elementos representem todos os
valores que é possível a função seno tomar, e que caem no intervalo
referenciado.
7.1. Arco
seno: arcsen(a)
Por definição, esta função devolve o arco([13]) cujo seno é a. Suponhamos que a = senθ. Então, o ângulo θ é
definido como o arco cujo seno é a,
isto é, θ = arcsen(a).
Como se pode ver pelo gráfico da função seno (página 24),
a função é não injectiva porque temos infinitos ângulos que possuem o mesmo
valor da função seno. Desse modo, não nos é possível definir uma aplicação
inversa para a função seno, porque assim para um valor do domínio dessa
aplicação existe uma infinidade de valores possíveis. Para que a aplicação
fique bem definida, é necessário que cada valor do seu domínio devolva um único resultado. Pode acontecer que
vários elementos do domínio da função dêem origem ao mesmo valor, mas cada
elemento do domínio só pode originar um
único valor. Tal não se passa para a função seno quando se toma por domínio
toda a recta dos números reais.
No entanto, é possível definir uma função inversa da função
seno para um domínio restrito em que haja injectividade, isto é, para o qual a
cada elemento do domínio corresponda um valor que não é imagem desse, e de
nenhum outro, elemento do domínio. Como a função devolve resultados no
intervalo [–1, +1], interessa considerar um domínio para a função inversa em
que todos os elementos desse intervalo sejam imagem da “função” arco seno. Tal
intervalo é, por exemplo, [–p/2, +p/2] – que é o usado convencionalmente. De facto, usando
a função arco seno de uma calculadora científica que suporte essa função,
obtemos valores dentro deste intervalo. Obviamente, a introdução de valores
fora do intervalo [–1, +1] como argumento da função arco seno produz uma
informação de erro na calculadora.
Assim, suponhamos que se pretende calcular arcsen(1/2).
Trata-se de procurar qual o arco (ângulo), no intervalo [–p/2, +p/2],
cujo seno é 1/2. Se tivermos sena=1/2, então arcsen(1/2)=a.
Como sen(p/6)=1/2,
então o resultado é: arcsen(1/2)=p/6.
O arco seno tem domínio [–1, +1], o contradomínio do seno: o
argumento a só pode tomar valores dentro desse intervalo. O contradomínio é uma
restrição do domínio do seno: [–p/2, +p/2].
7.2. Arco
coseno: arccos(a)
A maneira de definir esta “função” é a mesma que foi
utilizada para definir o arco seno.
O arco coseno é
definido como o arco cujo seno é igual ao
argumento da função. Assim, se um ângulo a tem por coseno cosa
= a, então arccos(a) = a. O arco coseno é assim a “função
inversa” da função coseno.
A função coseno não é injectiva, como se pode observar pelo
seu gráfico, na página 25.
Logo, há que procurar uma restrição do domínio da função coseno em que se possa
definir inequivocamente a aplicação coseno. Por convenção, o intervalo usado é
[0; +p],
e os valores permitidos para o argumento desta “função situam‑se no intervalo
[–1, +1], pois o coseno só toma valores neste intervalo.
O arco coseno tem por domínio [–1, +1]: é forçoso que –1 £ a £ 1. O contradomínio
convencionado para o arco coseno é [0; +p], uma restrição do
domínio da função coseno.
7.3. Arco
tangente: arctg(a)
O arco tangente é o ângulo (arco de circunferência) cuja
tangente é igual ao argumento da aplicação: é a “função inversa” da tangente.
A tangente é periódica, de período p, sendo forçosamente não
injectiva (ver nota sobre funções injectivas e não injectivas, na página
anterior). O intervalo que é usado para definir esta função é ]– p/2, +p/2[.
Note-se que os extremos do intervalo, –p/2 e +p/2,
são excluídos, pois nesses pontos a tangente não está definida (toma valores
infinitos). O argumento, a, pode
tomar todos os valores reais: aÎ IR.
7.4. Arco
co-tangente: arccotg(a)
É o ângulo cuja co-tangente é igual ao argumento – a “função
inversa” da co-tangente.
A co-tangente, tal como a tangente, é periódica e tem
período p.
O intervalo de valores tomado pelo arco co-tangente é ]0; +p[, e
o argumento a pode tomar qualquer valor real. Os extremos do domínio da função
arco co-tangente são excluídos porque nesses pontos a co-tangente não está
definida (tem valor infinito).
7.5. Resumo:
domínio e contradomínio das funções trigonométricas inversas
Função
|
Domínio
|
Contradomínio
|
arcsen(a)
|
a Î [–1, +1]
|
[–p/2,
+p/2]
|
arccos(a)
|
a Î [–1, +1]
|
[0;
+p]
|
arctg(a)
|
a Î IR
|
]– p/2,
+p/2[
|
arccotg(a)
|
a Î IR
|
]0;
+p[
|
8. Resolução de algumas
equações trigonométricas
Trata-se de resolver equações do tipo f(x)=y, sendo f(x) uma função trigonométrica ou
trigonométrica inversa, e y um valor
real.
Há que notar que a resolução analítica de equações de funções trigonométricas (ou que envolvam
funções trigonométricas inversas, ou ambas, ou outras funções quaisquer) nem
sempre é fácil, e é frequentemente impossível. Nesses casos, há que utilizar
métodos numéricos, com recurso a calculadoras programáveis e/ou computadores,
ou em alternativa métodos gráficos – por exemplo, pode-se sobrepor os gráficos
das funções seno e a tangente e procurar os pontos em que os gráficos das
respectivas funções se seccionam ou osculam (embora estes últimos sejam mais
difíceis de determinar “a olho”) para determinar as soluções da equação senx=tgx.
8.1. Resolução
de equações de funções trigonométricas do tipo f(x) = y
Este tipo de equações tem como solução geral um intervalo,
em virtude da periodicidade das funções trigonométricas.
8.1.a.
senx =
y
Como a função seno tem período 2p, são válidos os valores
de a separados de múltiplos inteiro do período. Naturalmente, como a função
seno é limitada, x terá de se situar
no intervalo [–1, +1], sob pena de a equação não ter solução. Assim, caso yÎ[–1, +1], pode-se fazer y = sena. Logo, a equação fica:
![](file:///C:/Users/ANDERS~1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image180.gif)
No caso da figura 27, y=sena
representa a “altura” do ponto P que se projecta sobre o eixo dos YY. Mas, a
essa projecção correspondem pelo menos dois ângulos, a e b, como se constata.
Ora, pode-se provar que os senos de dois ângulos complementares (isto é,
ângulos que somam 180º – ver página 8)
são iguais. Logo, se a e b
são complementares, b=180º–a,
e temos senb = sena.
A partir daqui têm‑se duas soluções possíveis.
Porém, podem-se obter mais soluções adicionando (ou
subtraindo) ao argumento múltiplos do período da função. Como se vê, entre 0º e
360º, o seno de x é igual ao seno de a
quando x=a, ou quando x=180º–a. Atendendo à
periodicidade do seno, vem então:
![](file:///C:/Users/ANDERS~1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image182.gif)
ou, em radianos:
![](file:///C:/Users/ANDERS~1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image184.gif)
8.1.b.
cosx =
y
O método de resolução é semelhante ao anterior. Façamos y=cosa, logo para que a equação tenha solução
tem de se verificar que yÎ[–1, +1]. No intervalo [0; +2p], há duas soluções para
x: a
e –a.
De facto, para que nesse intervalo se verifique que os
cosenos de dois ângulos sejam iguais, os ângulos devem ser iguais (o que é
trivial), ou – devido à paridade da função coseno – devem ser simétricos([14]).
Devido ao facto do coseno ter período 2p, as
soluções que distam entre si de um múltiplo inteiro do período também são
solução. Logo, são solução geral de cosx=cosa:
![](file:///C:/Users/ANDERS~1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image186.gif)
ou ainda, em radianos:
![](file:///C:/Users/ANDERS~1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image188.gif)
8.1.c. tgx = y
A tangente tem período 180º, ou p radianos. Calcula-se a
solução geral da maneira semelhante à anterior. O resultado em radianos é:
![](file:///C:/Users/ANDERS~1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image190.gif)
8.1.d.
cotgx =
y
A co-tangente, tal como a tangente, tem período p
radianos. A solução geral é igual à indicada em 8.1.c:
![](file:///C:/Users/ANDERS~1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image192.gif)
8.2. Exemplo
O cálculo de uma equação de qualquer dos tipos anteriores
pode não ser apenas algo como “senx=a”.
Em vez de x pode aparecer algo como “
5x+75º ”, ou outro polinómio de x. De qualquer modo, a resolução
continua a ser a mesma.
Procuremos a solução de: cos(5x+75º) = cos25º. NB: neste exemplo, a solução será dada em graus; a
solução em radianos é determinada trivialmente. Começa-se por resolver a
equação em ordem a x:
![](file:///C:/Users/ANDERS~1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image194.gif)
A solução geral é dada por:
![](file:///C:/Users/ANDERS~1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image196.gif)
Se em vez de cos25º tivéssemos sen25º, por exemplo, teríamos
de mudar o seno para coseno, pois apenas podemos comparar argumentos de funções
iguais. Recordemos que, para dois ângulos suplementares([15]),
a + b = p/2, se tem sena = cosb, e cosa = senb. No nosso caso o ângulo suplementar de 25º é 65º. Logo, usar‑se‑ia cos65º no lugar de sen25º, e a resolução continuava de maneira análoga à descrita.
a + b = p/2, se tem sena = cosb, e cosa = senb. No nosso caso o ângulo suplementar de 25º é 65º. Logo, usar‑se‑ia cos65º no lugar de sen25º, e a resolução continuava de maneira análoga à descrita.
8.3. Funções
trigonométricas inversas
Seja f(a) uma função trigonométrica (seno,
coseno, ...) e g(x) a inversa de f(x). A resolução da equação g(x) = a pode ser feita de um modo similar para
as alíneas anteriores. É possível, por exemplo, tentar encontrar qual o
argumento a da função trigonométrica
inversa que é igual a a, e nesse caso a equação escreve-se: g(x)=g(a).
Um processo alternativo, que por vezes se pode revelar útil,
consiste em aplicar a função trigonométrica f(a) inversa de g(x), aos dois membros da equação – para
tal é necessário, em primeiro lugar, que figurem de ambos os lados da equação a
mesma função. Chama-se ainda a atenção para o pormenor dos intervalos de
aplicação: se dentro desse intervalo a função não for injectiva, não é possível
definir a função inversa, logo este método não é aplicável. Da aplicação deste
método resulta:
![](file:///C:/Users/ANDERS~1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image198.gif)
9. Derivadas de funções
circulares e respectivas inversas
Para que uma função seja diferenciável, deve ser contínua em
todo o seu domínio. Tal verifica-se nas funções trigonométricas e nas
respectivas funções inversas.
Seja xÎ]0;p/2[
um ângulo do primeiro quadrante, no círculo trigonométrico, com amplitude em
radianos. Pela figura 28, sendo
e
, tem-se que
![](file:///C:/Users/ANDERS~1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image200.gif)
![](file:///C:/Users/ANDERS~1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image202.gif)
![](file:///C:/Users/ANDERS~1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image204.gif)
sendo
o comprimento do
segmento de recta [TC] e
o comprimento do arco
. Pode-se então concluir que senx < x. Para xÎ]–p/2;0[ teríamos |senx| < |x|.
![](file:///C:/Users/ANDERS~1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image206.gif)
![](file:///C:/Users/ANDERS~1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image208.gif)
![](file:///C:/Users/ANDERS~1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image210.gif)
A desigualdade é válida para xÎ]–p/2;p/2[ ,
e vai servir para provar que a função definida por f(x)=senx é contínua para
qualquer x real.
![](file:///C:/Users/ANDERS~1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image212.gif)
Ora,
, e como |sen(h/2)|
< |h/2| e |cos(x+h/2)|
£
1, temos:
![](file:///C:/Users/ANDERS~1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image214.gif)
![](file:///C:/Users/ANDERS~1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image216.gif)
Então, sen(x+h)–senx é um infinitésimo com h,
e verifica-se o limite anterior. Como x
é agora qualquer elemento do conjunto dos números reais, conclui-se que senx é contínua em todo o seu domínio.
Também cosx é
contínua: pode-se verificar imediatamente da identidade cosx = sen(p/2
– x).
As funções tgx e
cotgx também são contínuas em todo o
seu domínio, pois resultam do divisão de funções contínuas nos respectivos
domínios([16]).
Comecemos por estudar alguns limites que interessarão para o
levantamento de indeterminações aquando do cálculo de derivadas.
9.1. Estudo
do ![](file:///C:/Users/ANDERS~1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image217.gif)
![](file:///C:/Users/ANDERS~1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image219.gif)
![](file:///C:/Users/ANDERS~1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image221.gif)
![](file:///C:/Users/ANDERS~1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image223.gif)
Como
,
, e
, vem:
senx < x < tgx. Dividindo por senx, ficamos agora com:
![](file:///C:/Users/ANDERS~1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image225.gif)
![](file:///C:/Users/ANDERS~1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image227.gif)
![](file:///C:/Users/ANDERS~1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image229.gif)
senx < x < tgx. Dividindo por senx, ficamos agora com:
![](file:///C:/Users/ANDERS~1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image231.gif)
Como
, temos então que
![](file:///C:/Users/ANDERS~1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image233.gif)
![](file:///C:/Users/ANDERS~1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image235.gif)
Ora, a função g(x) = x / senx é par. Com efeito,
. Por isso,
![](file:///C:/Users/ANDERS~1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image237.gif)
![](file:///C:/Users/ANDERS~1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image235.gif)
![](file:///C:/Users/ANDERS~1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image239.gif)
Por definição, a derivada da função f(x) no ponto x é:
![](file:///C:/Users/ANDERS~1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image241.gif)
9.2. Derivadas
de funções trigonométricas
Apliquemos esta definição para obter as derivadas das
funções trigonométricas e das respectivas inversas.
9.2.a.
Derivada do seno
Aplicando a anterior definição de derivada de uma função,
temos:
![](file:///C:/Users/ANDERS~1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image243.gif)
Sabendo que
, vem:
![](file:///C:/Users/ANDERS~1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image245.gif)
![](file:///C:/Users/ANDERS~1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image247.gif)
A função coseno é contínua, logo
lim(cosθ) = cos(limθ). Assim,
(senx)' = 1 · cosx = cosx.
Em particular, sendo u=u(x)
uma função diferenciável num intervalo aberto, e aplicando a regra da derivação
da função composta, temos([17]):
(sen[u(x)])' = u' · cos[u(x)] .
9.2.b.
Derivada do coseno
Sabendo que cos(x)
= sen(p/2–x), e derivando (temos u(x) = p/2 – x), vem:
(cosx)'
= –1 · cos(p/2 – x) = –sen(x) .
Em particular, sendo u(x) diferenciável num intervalo aberto
]a,b[, tal como para o seno, então a função cos[u(x)] é diferenciável em ]a,b[ e
(cos[u(x)])' = –u' · sen[u(x)] .
9.2.c.
Derivada da tangente
A função y=tgx tem
por derivada y' = 1/cos2x
= 1 + tg2x. Com efeito,
![](file:///C:/Users/ANDERS~1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image249.gif)
Derivando senx/cosx, temos:
.
![](file:///C:/Users/ANDERS~1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image251.gif)
Em particular, se y=tg[u(x)],
temos:
, com u=u(x).
![](file:///C:/Users/ANDERS~1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image253.gif)
9.2.d.
Derivada da co-tangente
![]() |
Obtém-se da mesma forma que a da tangente, sabendo que cotgx = cosx/senx. Daqui segue então que:
y' = (cotgx)' = 1/sen2x = 1 + cotg2x.
Em particular, se y=cotg[u(x)], temos:
.
![](file:///C:/Users/ANDERS~1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image256.gif)
9.3. Derivadas
de funções trigonométricas inversas
Vejamos agora as derivadas de algumas funções
trigonométricas.
9.3.a.
Derivada do arco seno
Seja y=arcsen(x),
com yÎ]–p/2, +p/2[ .
Visto que y=arcsen(x), então x=sen(y). A regra da derivação da função
composta inversa[18]
dá então:
![](file:///C:/Users/ANDERS~1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image258.gif)
Pela fórmula fundamental da
trigonometria, relação (3.1), temos
. Então,
![](file:///C:/Users/ANDERS~1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image260.gif)
![](file:///C:/Users/ANDERS~1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image262.gif)
Se tivéssemos yÎ]p/2, 3p/2[ ,
então
e
.
![](file:///C:/Users/ANDERS~1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image264.gif)
![](file:///C:/Users/ANDERS~1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image266.gif)
Por fim, sendo y=arcsen(u) e u=u(x) funções diferenciáveis, temos:
![](file:///C:/Users/ANDERS~1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image268.gif)
9.3.b.
Derivada do arco coseno
Seja y=arccosx Û x=cosy. Então,
.
![](file:///C:/Users/ANDERS~1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image270.gif)
Em particular, sendo u=u(x)
uma função diferenciável, e y=arccos(u),
![](file:///C:/Users/ANDERS~1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image272.gif)
9.3.c.
Derivada do arco tangente
Seja u=u(x) uma
função diferenciável, e y=arctg(u). Então,
![](file:///C:/Users/ANDERS~1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image274.gif)
9.3.d.
Derivada do arco co-tangente
Seja u=u(x) função
diferenciável, y=arccotg(u). Então,
![](file:///C:/Users/ANDERS~1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image276.gif)
9.4.
Resumo das derivadas de funções trigonométricas
e trigonométricas inversas
Na tabela que se segue, u=u(x) é uma função diferenciável([19]),
e cujo contradomínio está necessariamente contido no domínio das respectivas
funções trigonométricas e trigonométricas inversas – ver secção 7.5.
Derivadas de funções trigonométricas
|
|
(sen(u))' =
u'(x) · cos(u)
|
![]() |
(cos(u))' = –u' · sen(u)
|
![]() |
![]() |
![]() |
Derivadas de funções trigonométricas inversas
|
|
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
10. Exercícios resolvidos
Apresentam-se de seguida alguns exercícios, com uma resolução possível. Apela-se para
que o leitor procure outras resoluções válidas. Alguns conselhos:
·
Ao tentar resolver um problema, e sempre que
possível, que faça um desenho ou esquema
relacionado com o problema; verá que isso contribui para uma melhor
visualização da situação e pode ajudar imenso a perceber o que se pede e a
encontrar uma solução!
·
Leia o problema uma vez, do início ao fim.
Depois, leia novamente o exercício e tente perceber:
·
quais os dados do problema;
·
o que é pedido para determinar.
Tente explicar por
suas próprias palavras o que é dado e o que é pedido no problema. Se não
consegue explicar por si próprio ou a outra pessoa o que leu, é bem possível
que não tenha percebido a informação dos dados, do que é pedido, ou ambas as
coisas! Leia o problema, ou a(s) parte(s) que não percebeu, tantas vezes
quantas as necessárias até que se torne perfeitamente claro para si.
1.
Um
vaivém em órbita terrestre descreve um trajecto tipicamente circular a uma
altitude de cerca de 300km acima da superfície. Sabendo que o raio da Terra é
6380km, escreva a expressão para a distância do horizonte àquela altitude, e
calcule o seu valor.
![](file:///C:/Users/ANDERS~1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image297.gif)
Resolução:
Seja R o raio da Terra e h a altitude do vaivém acima da superfície da Terra. Pretende‑se
determinar a distância d. O ângulo a
é recto porque a recta a que pertence o segmento de comprimento d é perpendicular ao raio da Terra – é
tangente à superfície.
Aplicando o
teorema de Pitágoras, temos:
![](file:///C:/Users/ANDERS~1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image299.gif)
Repare-se que
não surge uma solução do tipo
porque:
![](file:///C:/Users/ANDERS~1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image301.gif)
1) a
solução deve ser bem definida (um só valor, isto é, uma distância qualquer tem um valor bem definido);
2) trata‑se
de distâncias – valores reais positivos.
Assim, temos:
.
![](file:///C:/Users/ANDERS~1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image303.gif)
Poder-se-ia resolver
este problema de maneiras mais complicadas, mas em particular foi possível usar
aqui o teorema de Pitágoras, o que simplificou significativamente os cálculos. Se
o ângulo a
não fosse recto, nesse caso já seria necessário recorrer a fórmulas
trigonométricas. Seria um bom exercício para o leitor tentar obter uma relação
entre o ângulo a e a distância d.
2.
Uma aeronave prepara-se para aterrar numa pista
(poderia ser o vaivém do exercício anterior...). O avião faz uma aproximação a
um ângulo de 60º do lado esquerdo da pista onde pretende aterrar. Os
instrumentos de bordo indicam que o ponto de aterragem está a uma distância de
30km em linha recta e a um ângulo de 45º para a esquerda da direcção em que o
avião se desloca. Considere apenas a projecção no solo do trajecto do avião (ou
seja, ignore a altitude do avião acima do solo). Calcule a distância do avião
a) ao
eixo da pista de aterragem;
b) do
local onde irá cruzar o eixo da pista de aterragem até ao ponto de aterragem.
Resolução:
O exercício exige já um á-vontade
considerável nos assuntos versados até ao capítulo 5. Embora pareça difícil,
não nos devemos deixar intimidar. Na verdade, se começarmos a fazer um desenho
baseado nos dados do problema veremos que até é parecido com o problema do
farol na secção 3.4!
O avião aproxima-se da pista pelo lado
esquerdo, fazendo com ela um ângulo de 60º. Temos então algo assim (figura do
lado esquerdo):
![]() |
Por outro lado, sabemos que o ponto de aterragem está, pelas indicações dos instrumentos de bordo, a um ângulo de 45º (para a esquerda) com a direcção a que viaja o avião (figura do lado direito). Além disso, os instrumentos informam que o ponto de aterragem está a 30km (em linha recta!).
Esta é toda a informação que é dada no
problema. A distância a calcular na alínea a) corresponde a x e a distância y corresponde ao cálculo da alínea b). Comecemos então a ver o que
se poderá usar e no quê.
Este problema é, com efeito, semelhante ao
problema do farol na secção 3.4: conhecemos dois ângulos e sabemos uma
distância, e pedem-nos para calcular outra distância – ou, neste caso, duas.
![]() |
Chamemos, para facilitar a discussão, A ao ponto onde está o avião, B ao ponto onde este intersecta o eixo da pista de aterragem e C ao ponto de aterragem.
y
é o comprimento da hipotenusa BC do triângulo BDC. O cateto CD deste triângulo
tem comprimento dado por y·sen(60º).
Mas, este cateto (CD) é também um cateto do triângulo ADC, pelo que se tem:
.
![](file:///C:/Users/ANDERS~1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image308.gif)
Consultando a tabela na página 19, vemos
então que y = 24,5km. Os comprimentos
dos catetos AD e BD são, respectivamente: 30·cos(45º) = 21,2km; e y·cos(60º)=12,25km. Logo, o comprimento x é simplesmente 21,2 – 12,25 = 8,96km.
3) Num
campo de ténis, a distância entre a rede central e a linha de fundo é de
23,77m. A altura da rede é 1,07m. Qual é o ângulo entre o chão e o topo da
rede, na linha lateral, a partir da linha de fundo?
Resolução:
![]() |
O ângulo pedido é o ângulo α. A altura da rede é 1,07m e a distância desde o extremo do campo, no vértice do triângulo, é de 23,77m. Na figura, a rede constitui o cateto oposto ao ângulo α e o segmento desde a linha de fundo até à rede constitui o cateto adjacente ao mesmo ângulo. O quociente entre as duas distâncias dá a tangente do ângulo α:
![](file:///C:/Users/ANDERS~1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image311.gif)
Por fim, o ângulo α é, por definição, o
arco cuja tangente é dado por este quociente. Ou seja,
![](file:///C:/Users/ANDERS~1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image313.gif)
O resultado é apresentado em duas
notações: em graus (2,58º) e com a fracção do ângulo em notação sexagesimal (2º
34' 38,9", ou seja: 2 graus, 34 minutos e 38,9 segundos). Na notação
sexagesimal, “minuto” e “segundo” significam minuto de arco e segundo de arco,
respectivamente.
Bibliografia
·
“Matemática – Formulário”, Manuel Alberto M.
Ferreira, Isabel Amaral. Edições Silabo, L.da. Lisboa, 1994 (8ª edição).
·
“Matemática/10ºano – 2º volume”, Maria Augusta
Neves, Maria Teresa Vieira, Alfredo Gomes Alves.
Porto Editora. Porto, 1991 (3ª edição).
Porto Editora. Porto, 1991 (3ª edição).
·
“Matemática/12ºano”, Maria Augusta Neves, Maria
Teresa Vieira, Alfredo Gomes Alves. Porto Editora.
·
“Trigonometry”,
E. P. Vance. Collier’s Encyclopedia vol.22, pgs.469-476. Macmillan
Educational Company, 1990.
Postado pelo DR. Bravo Luamba
([1]) Para
demonstrar esta propriedade dos triângulos, é necessário recorrer aos axiomas
de Euclides enunciados no seu tratado de geometria, os “Elementos”. Em
particular, é necessário o 5º axioma, que afirma que “duas rectas do mesmo lado de uma terceira recta, e que lhe sejam
perpendiculares, nunca se cruzam”. Os ângulos assim formados, do “lado de
dentro” definido pela duas rectas, fazem o ângulo 90º + 90º = 180º. A
cruzarem-se, a soma dos dois ângulos seria menor que 180º, e a “quantidade que
falta” seria o terceiro ângulo, indo formar um triângulo. No caso das rectas
paralelas, o terceiro ângulo não existe, pois as rectas não se intersectam. A
partir daqui, a propriedade pode-se tornar mais ou menos intuitiva.
([2]) É importante
admitir aqui que os dois pontos, A e B, estão ao mesmo nível. De outro modo,
seria necessário introduzir uma correcção para compensar a diferença de alturas
– mais uma vez usando relações trigonométricas. Não abordarei o problema aqui;
na verdade, apela-se ao leitor para que tente resolver este outro problema após
compreender bem o formalismo por detrás do primeiro problema. De facto,
teríamos de usar mais triângulos (e obter relações entre eles) para se levar em
linha de conta tal desnível.
([12]) Para uma função injectiva, qualquer recta
horizontal r intersecta uma única vez
o gráfico de uma função; numa função não
injectiva, existe pelo menos uma
recta r que intersecta duas ou mais
vezes o gráfico da função – ver figuras 23 e 24. As funções periódicas são
não injectivas, em geral em intervalos de medida igual ou maior ao período da
função.
![](file:///C:/Users/ANDERS~1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image315.gif)